לתלמידי כיתה י' אנו שמחים להציג בפניכם את חוברת מבחני המחצית של כיתה י' שנערכו בשנים האחרונות שימו לב כי לא כל הבחינות המופיעות בחוברת זו, הן במבנה של הבחינה שתיערך לכם השנה, לכן מובא לכם כאן מבנה הבחינה שתיערך השנה תשע"ד הבחינות של מועד תשע"ג מותאמות לבחינה שתיערך השנה כמו כן ישנן שאלות שלא רלוונטיות לתוכנית ההיבחנות החדשה חלק א' 5 שעות פרק א בחירה של מתוך מבנה בחינת המחצית אלגברה ובעיות מילוליות, כולל אי שוויונות ריבועיים ורציונאליים סדרות פרק ב בחירה של מתוך גיאומטריה הערה: שאלות בגיאומטריה אוקלידית ניתן לפתור בשיטות של גיאומטריה אוקלידית או בכל דרך אחרת טריגונומטריה במישור פרק ג בחירה של מתוך חדו"א של פונקציות טריגונומטריות, פולינומים, רציונאליות ושורש ריבועי כולל שימוש באי שוויונות ריבועיים, רציונאליים, ואי-רציונאליים פשוטים הפסקה חצי שעה חלק ב' - שעתיים פרק א בחירה של מתוך וקטורים גיאומטריה אנליטית מספרים מרוכבים פרק ב בחירה של מתוך חדו"א ואלגברה של מעריכיות לוגריתמיות (בשילוב טריגונומטריה) השאלות בבחינה יכולות להיות משולבות מכמה נושאים לדוגמה: שאלה המשלבת חקירה ואינטגרל או שאלה המשלבת סעיפים שאין ביניהם קשר ולכן יש לדעת את כל הנושאים היט אנו מאחלים לכולכם שנת לימודים פורייה! - -
תוכן : שנה תשס"א תשס"ב מועד א' תשס"ב מועד ב' תשס"ג מועד א' תשס"ג מועד ב' תשס"ד מועד א' תשס"ד מועד ב' תשס"ה מועד א' תשס"ה מועד ב' תשס"ו מועד א' תשס"ו מועד ב' תשס"ז מועד א' תשס"ז מועד ב' תשס"ח מועד א' תשס"ח מועד ב' תשס"ט מועד א' תשס"ט מועד ב' תש"ע מועד א' (ערוך) תש"ע מועד ב' (ערוך) תשע"א מועד א' תשע"א מועד ב' עמוד 7 0 6 9 5 8 5 9 4 48 54 60 65 70 78 87 95 04 4 תשע"ב מועד א' תשע"ב מועד ב' תשע"ג מועד א' תשע"ג מועד ב' - -
חלק א: מבחן מחצית י' תשס"א במשולש ABC נסמן: S ABC = S, AB= c, BC = a, AC = b דרך הקודקוד A מעבירים ישר המקביל לצלע BC ACE= בונים CE כך ש- ABC ABD= (ראו שרטוט) ובונים BD כך ש- ACB בטאו את היחס בין שטח הטרפז BCED לבין שטח המשולש ABC באמצעות a, b, c נתונה מערכת משוואות: + y+ z = m+ ky+ ( m+ k) z = m + k y+ ( m + k ) z = 4 מצאו את ערכי הפרמטרים m ו- k עבורם יש פתרון למערכת b היא סדרה חשבונית = a+ נתונה סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה הבא: a = a + = a + < a 0 לכל הוכיחו כי: < a הוכיחו כי: > + לכל a 4 a ( a a) + ( a a ) + + ( a a + סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה הבא: a = 7 a+ = a + 5 4 הוכיחו כי הסדרה המוגדרת ע"י מצאו נוסחה לסכום: ) a + מצאו נוסחה ל- 4 הולך רגל יצא מ- לA -B בשעה 8:00 במהירות של 4 קמ"ש בשעה 9:00 יצא הולך רגל שני במהירות של קמ"ש גם הוא מ- A ל- B הולך רגל שלישי, שהלך מ- לB -A במהירות של 6 קמ"ש פגש את הולך הרגל הראשון ב- 9:0 לאחר מכן פגש גם את הולך הרגל השני מצאו מה היה אז המרחק בין הולך הרגל הראשון לשני 5 - -
חלק ב: a a>, f ( ) 6 נתונה הפונקציה = חקרו את הפונקציה (תחום הגדרה, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודות קיצון, תחומי עליה וירידה, אסימפטוטות מקבילות לצירים) שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה R הוא משולש שווה צלעות החסום במעגל שרדיוסו ABC נקודה M נמצאת על הקשת הקטנה AC מעבירים MP מאונך על הצלע BC MQ מאונך על הצלע AC ו- MR מאונך על המשך הצלע AB (ראו ציור) מצאו את הזווית MBC עבורה סכום הקטעים,MQ,MP ו- MR יהיה מקסימלי, ומצאו את הסכום המקסימלי 7 (, 9) ( f ( העבירו שני משיקים מהנקודה לגרף הפונקציה = (שימו לב: הנקודה לא נמצאת על גרף הפונקציה!) חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והמשיקים 8 הוכיחו: פתרו את המשוואה: (arcsi ) π = arcsi + arccos לכל π + (arccos ) = 4 9 0 במעויין ABCD הזווית החדה היא בת 60,AD מאונך על PQ מעבירים AB היא נקודה כלשהי על הצלע P DC מאונך על PR,BD מאונך על PS הוכיחו: PQ+PS=PR - 4 -
חלק ג: (0 ( הנקודה P נמצאת על אותו + ( y+ (5 הנקודה (5,5 )A נמצאת על המעגל = 65 מעגל AQ הנקודה Q נמצאת על המיתר AP כך ש- = QP מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות Q כאשר P נעה על המעגל ABC הוא משולש ישר זווית ) 90 =C ( החסום בבסיסו של חרוט ישר שראשו S רדיוס בסיס BSC= ASC= β, הביעו את נפח החרוט באמצעות החרוט הוא R נתון: α R, α, β מצאו את משוואת המישור המקביל לציר ה- z וחותך את ציר ה- בנקודה (,0,0) ואת ציר ה- y בנקודה (0,6,0) = l : מקביל למישור שמצאת בסעיף (,,) + s( מצאו את K עבורו הישר (,,K במנסרה ישרה ABCDA' B' C' D' הבסיס ABCD הוא מעויין שבו A=60 הנקודה E היא אמצע הקטע,AB והנקודה F מקיימת ' C B ' F = t B ' נסמן AA ' = w, AD = v, AB = u הביעו את EF,CF נתון: באמצעות t, u, v, w = u w =, מצאו לאלו ערכי t הזווית EFC היא זווית קהה בסדרה הנדסית האיבר הראשון הוא + i והאיבר הרביעי הוא 8 8i מצאו את מנת הסדרה (כל הערכים האפשריים) הנקודה המתאימה לאחד מערכי q שמצאתם בסעיף א' נמצאת ברביע השלישי במישור גאוס והיא קודקוד הראש של משולש שווה שוקיים חסום במעגל שמרכזו בראשית הצירים זווית הראש של משולש זה היא בת 0 מצאו את המספרים המרוכבים אשר מתאימים לקודקודי הבסיס של המשולש הנ"ל (עליכם להציג את כל הפתרונות בצורה ) +a bi 4 l d= (l ) הוכיחו כי מתקיים: + C ( )g העבירו משיק בנקודה שבה =e חשבו את השטח המוגבל ע"י לפונקציה = l גרף הפונקציה, המשיק וציר ה- X 4 y 4 5 6 0-6 -4-0 4 6 - -4 בהצלחה! - 5 -
+ c + a k m c b k, m 0 5 4 5 5 ק"מ תשובות סופיות למחצית י' תשס"א 5 + 4 y 5 0-5 -0-5 0 5 0 5-5 6 π = 6, 5R 7 s = 6 8 π π arcsi =,, = 9, 6 ( ) + ( y ) = 00 π cos α si v = R si α+ si β β + y 6= 0 k = EF = u+ tv+ w CF = w ( t) v 0< t< 4 4 i + i i cis 90 cis 0 5 cis 0 6 8 e + 05= 50679 6-6 -
פרק ראשון ענה על מתוך השאלות הבאות מבחן מחצית י' תשס"ב מועד א' הוכח באינדוקציה, או בדרך אחרת, כי לכל טבעי מתקיים: ( + ) + ( + ) + ( + ) + + () (+ )(7 = 6 + ) a מוגדרת ע"י כלל הנסיגה: הסדרה לכל טבעי a + = a a + + 4 = 7, b = + b הסדרה מוגדרת לפי מקום: טבעי לכל טבעי s = a + a + + a a = b הוכח כי: חשב את הסכום : y+ kz= ( k+ ) y+ 6z= 6y+ 9z = k נתונה מערכת המשוואות הבאה: מצא לאילו ערכי K (אם יש כאלה) : פתרון יחיד, אף פתרון,אינסוף פתרונות מצא הצגה פרמטרית לפתרונות עבור מקרה שבסעיף א' פרק שני ענה על 4 מתוך 5 השאלות הבאות y= 4 5+ B נתונה הפונקציה : ידוע כי =X אסימפטוטה לפונקציה זו 4 חשב את B האם 4=X אסימפטוטה? נמק! חקור את הפונקציה (תחום, חיתוך עם הצירים, קיצון, אסימפטוטות, שרטוט) 5 חותכים חוט שאורכו 0 מ' לשני חלקים מחלקו האחד יוצרים ריבוע ומחלקו השני יוצרים מעגל 0 π + 4 הוכח שסכום השטחים של הריבוע והמעגל הוא מינימלי כאשר אורך צלע הריבוע הוא - 7 -
b+ y = a + חותך את ציר ה- X בנקודות,0) (-5,,0) - ( גרף הפונקציה c השטח בין גרף הפונקציה לציר ה- X ברביע ה-שלישי הוא 9 מצא את b, a ו- c 6 y= cos + חקור את הפונקציה cos בתחום π π ) חיתוך צירים, קיצון, שרטוט, עליה 7 וירידה) PA=m, OPA= α נתון: A בנקודה O משיק למעגל PA 8 בנקודה P מעלים אנך ל- PA הוכח שאורך המיתר שאנך זה חותך מהמעגל הוא: m cos α cosα באיזה תחום צריכה להימצא הזווית αכדי שיהיה פתרון לבעיה פרק שלישי ענה על מתוך השאלות הבאות 9 בטטראדר ABCD המקצועות AD,AC,AB (מרכז הכובד) של הפאה BDC נסמן: AD= w AC = v AB= u נתון: ניצבים זה לזה הנקודה E היא נקודת AD =, AC = 6, AB = פגישת התיכונים, ו- w cos α = v 7 הבע את נסמן AE, u על ידי DAE= α הוכח חשב את שטח הפאה BDC מצא את המקום הגיאומטרי של אמצעי כל הקטעים המחברים את הנקודה (,) עם נקודות + y = 8+ המעגל 6y אפיין את המקום הגיאומטרי שמצאת בסעיף א' 0 si y= גזור את הפונקציה e הסבר מדוע אין לפונקציה הנ"ל נקודות חיתוך עם ציר ה- X חשב את האינטגרל π 4 π 4 cos e si d - 8 -
פתרונות סופיים למחצית י' תשס"ב מועד א' + + + הוכחה הוכחה לא רלוונטי לתוכנית ההיבחנות החדשה 4 4=B לא, זה חור תחום,4 חיתוך עם צירים (0,0) אין נק' קיצון, הפונק' עולה בכל תחומה, 4 אסימפטוטות y= ) = הנקודה ) (4, "חור") 5 הוכחה a=, b= 4, c= 0 6 π 7 חיתוך עם הצירים,0) ±π (,0) ± ( ) (0, נק' מקס' ) (0,,0) ±π ( נק' מיני' ), π ± ( 4 π < < π, 0< < π ירידה π < < 0, π < < עליה π 45 α < 90 0 0 8 5 (,) 4 יח"ר מעגל שמרכזו ורדיוסו e e ( ) u+ v+ w ( ) + ( y ) = 5 y ' = cos e 4 si 9 0-9 -
פרק ראשון ענה על מתוך השאלות הבאות מבחן מחצית י' תשס"ב מועד ב' + + = + + 4 + + + נתון השיויון: בדוק את נכונות השוויון עבור =, הוכח באינדוקציה שהשוויון נכון לכל =, = טבעי שתי סדרות מקיימות את התנאים הבאים לכל טבעי: a b + = a + = a a + a האיברים העומדים במקומות הזוגיים, וגם האיברים העומדים במקומות האי- הוכח כי בסדרה זוגיים מהוו םי סדרות חשבוניות הוכח כי: b b = a לכל טבעי + 6 + c מוגדרת לכל הסדרה טבעי ע"י: c = b + b a סכום של 0 האברים הראשונים שלה, אם ידוע ש = 4 c הוכח כי היא סדרה חשבונית ומצא נתונה מערכת המשוואות: + z = 5 ky z = + y kz= 7 מצא לאילו ערכי K יש למערכת: פתרון יחיד, אף פתרון, אינסוף פתרונות מצא את K עבורו יש למערכת פתרון יחיד שבו = פרק שני ענה על 4 מתוך 5 השאלות הבאות (A 0) y= A + + 4 נתונה הפונקציה : ד מצא תחום הגדרה מצא אסימפטוטות לפונקציה האם יש ערך של A שעבורו יש לפונקציה נקודת קיצון פנימיות? אם כן, תן דוגמ אם לא, נמק נתון גם ש: A 0 (A חיובי) מצא תחומי עליה וירידה ושרטט סקיצה של גרף הפונקציה - 0 -
5 הוכח כי השטח הגדול ביותר של מלבן החסום בין הישרים הוא 5 y= 4 + 8 ו- לבין ציר ה- X =y 6 מצא משוואת משיק לגרף הפונקציה y= 4 חשב את השטח בין גרף הפונקציה, המשיק וציר ה- Y המקביל לישר y= + 0 0 π בתחום y= si חקור את הפונקציה si ) חיתוך עם צירים, נק' קיצון, 7 שרטוט, עליה וירידה) 8 ABC במשולש ישר זוית BAC = α, 0 c= 90 הוכח שהיחס בין רדיוס המעגל החסום במשולש ABC לבין רדיוס המעגל החוסם משולש זה הוא: α α si si(45 ) פרק שלישי ענה על מתוך השאלות הבאות AD= w הנקודה E מחלקת את BC ביחס, AC =v, AB= u 9 נתונה פירמידה משולשת ABCD נסמן של :, ו- w v, u DE DC הבע את ואת ע"י w =, v =, u = 8, ו- w v, נתון ש: u מאונכים זה לזה וכן: חשב את זוית EDC מצא את נפח הטטראדר 0 מצא את המקום הגיאומטרי של מרכזי כל המעגלים המשיקים לציר ה- X + y = 4 וגם משיקים מבחוץ, למעגל ( f ( מצא את הנגזרת של הפונקציה = e (cos + נתונה הפונקציה ( si =y וע"י ציר ה- X בין שתי הנקודות e חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה cos הקרובות ביותר לראשית הצירים בהצלחה!!! - -
פתרונות סופיים למחצית י' תשס"ב מועד ב' הוכחה S 0 = 460 לא רלוונטי לתוכנית ההיבחנות החדשה >0 < 0 = 0, y= ד עליה לא ירידה < 0 or > 4 0 (0, ) ( π,0) ( π,0) y= + 5 הוכחה חיתוך עם הצירים 4 נק' מקס' ), π ( π,0) ( נק' מיני' (0,0) ), π ( 4 4 π < < π ירידה 0 < π, π < עליה π 6 7 8 הוכחה 0 EDC= 0 DE = u+ v w DC = v 9 w π e + e π y = 4 y= e cos 0 - -
פרק : אלגברה עליך לפתור שאלות מתוך השאלות - נתונה מערכת המשוואות: מבחן מחצית י'- תשס"ג-מועד א' +y+kz= +ky+z= k+y+z= בעבור איזה ערך של k למערכת יש: אינסוף פתרונות, פתרון יחיד, אין פתרון בהנחה שלמערכת יש פתרון יחיד, מצא את הפתרון הזה כפונקציה של k מהו המקום הגיאומטרי של כל הפתרונות שמצאת בסעיף ב'? (מספיק לתת תיאור מילולי) a a + = a נתונה סדרה המוגדרת על ידי: הראה כי: =0, a = a a ( ) + = מצא נוסחה לסכום הסדרה מצא את סכום האיברים בעזרת S - a 4 +a 5 +a 6 + +a 0 5 7 + + + + 4 4 9 9 6 a + = נתון הסכום: ( + ) בטא את a בעזרת הוכח באינדוקציה, או בדרך אחרת, כי הנוסחה מתקיימת לכל טבעי פרק : חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, טריגונומטריה עליך לפתור שאלות מתוך השאלות 4,5,7,8 וגם את השאלה - 6 שאלת חובה f ( ) = ( B+ )(4 4 נתונה הפונקציה ) מצא את הערך של B כך שלפונקציה תהיה נקודת מקסימום בעבור = חקור את הפונקציה (תחום הגדרה, נק' חיתוך עם הצירים, נקודות קיצון, תחומי עליה וירידה) ושרטט סקיצה של גרף הפונקציה f על פי הסקיצה שבנית בסעיף ב', שרטט את גרף הפונקציה ( ( y= m 5 ידוע כי הנקודה הקרובה ביותר של הפרבולה יחידות מצא את m לישר 4-y=6 היא במרחק 5 - -
6 חוברת מבחני מחצית י' שאלת חובה בציור נתון חלק מן הגרף של הפונקציה הוכח כי π ושל המשיק לגרף בנקודה = y=si si d= cos + cos d מצא את משוואת המשיק הנ"ל חשב את השטח הכלוא (ברביע הראשון) בין העקומה והמשיק 7 בתוך טרפז שווה שוקיים בעל זווית הבסיס הוכח כי היחס בין שטח הטרפז לשטח העיגול הוא:, α חסום מעגל 4 π siα 8 חקור את גרף הפונקציה f ( ) = si + si (תחום הגדרה, חיתוך עם הצירים, נקודות קיצון, תחומי עליה וירידה, אסימפטוטות) בתחום 0 π שרטט את גרף הפונקציה בתחום זה פרק : וקטורים, הנדסה אנליטית, פונקציות מעריכיות עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות 0- וגם את השאלה - 9 שאלת חובה 9 שאלת חובה נתונה מנסרה משולשת ישרה שבסיסה התחתון הוא A'B'C' ובסיסה העליון הוא u = v = w = AB = u, AC= v, AA' = w מסמנים: נתון: ABC BT = BC, BP= CB, < ) BAC=α אהראה שאורכו של הוקטור A'T מצא ביטוי (עם α) עבור אורכו של מצא את הזווית הוא: 8 6+ cosα, A'P והראה כי עבור = 60 αהאורך הוא α בעבור = 60 P A T 0 מצא ואפיין את המקום הגיאומטרי של מרכזי כל המעגלים אשר נוגעים מבחוץ במעגל - y+ 0+6=0 -= ובישר + A נתונה הפונקציה: y= e באיזה תחום מספרי צריך להיות A,כדי שהנגזרת של הפונקציה הנתונה תתאפס בשתי נקודות שונות? הוכח כי הפונקציה הנתונה מקבלת גם ערך מקסימלי וגם ערך מינימלי בתחום שמצאת בסעיף א' מה צריך להיות ערכו של A כדי שלפונקציה יהיה מקסימום כאשר? = ד הצב את הערך של A שמצאת בסעיף ג' בפונקציה הנתונה, מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה, את נקודות החיתוך עם הצירים, אסימפטוטות, ושרטט סקיצה של גרף הפונקציה בהצלחה! - 4 -
פתרונות סופיים למחצית י' תשס"ג מועד א' (0, ) ( ±,0) לא רלוונטי לתוכנית ההיבחנות החדשה 85 S 4 הוכחה ] ) ) (( + [ = 56 + a ניתן להוכיח גם ע"י פירוק לשברים חלקיים = ( + ) תחום הגדרה חיתוך עם הצירים B= < <, 0< < קיצון : מקס' - (,),,) ( מיני' ) (0, עליה - < < < 0, < (אין אסימפטוטות) ירידה - π m=7 4 y= 6 8 7 הוכחה π 7π חיתוך עם הצירים - 8 תחום הגדרה -, 4 4 π 7π π 7π 0 < <, < < π = עליה - אסימפטוטות -, 4 4 4 4 0 PA' T = 6 A' P = 4 9 cosα ירידה - אין נק' קיצון π 7π < < 4 4 (, ) e (0,0) ( π,0) ( π,0) (0, ), ( ±,0) A= 5 y = 0 0 A< ד תחום הגדרה כל מיני' - חיתוך עם הצירים - קיצון : מקס', ( אסימפטוטות y= 0 e) - 5 -
פרק : אלגברה עליך לפתור שאלות מתוך השאלות - נתונה מערכת המשוואות : מבחן מחצית י'- תשס"ג-מועד ב' + y+ kz= k+ (k+ ) y+ z = k+ k+ ky+ z= k עבור איזה ערך של k למערכת יש: אינסוף פתרונות, פתרון יחיד, אין פתרון למקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הפרמטרי של המערכת b = + נתונות שתי הסדרות : a = a+ = a+ 6+ הוכח כי שתי הסדרות לעיל מתלכדות לכל טבעי: הוכח כי כל האיברים בסדרה } a} הם מספרים חיוביים הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת כי לכל טבעי מתקיים: + + + + = 0 4 4 8 8 (6+ 4 )(0+ 4) 0(0+ 4) 57 + + חשב, על פי סעיף א', את הסכום: פרק : חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, טריגונומטריה עליך לפתור שאלות מתוך השאלות 4,5,7,8 וגם את השאלה - 6 שאלת חובה נתונה הפונקציה: ד f () m+ 4 = עבור אילו ערכים של m יש לפונקציה נקודות קיצון? הצב: - = m בפונקציה הנתונה ומצא : תחום הגדרה, נקודות קיצון (אם יש), אסימפטוטות מקבילות לצירים, נקודות חיתוך עם הצירים שרטט סקיצה של גרף הפונקציה בעבור אלו ערכים של k יש לפונקציה f() ולישר y=k שתי נקודות חיתוך? 4 ראשו של משולש שווה שוקיים OAB נמצא בנקודת ראשית הצירים O, וקודקודי הבסיס A ו- B נמצאים על העקומה =y, כך שהבסיס מקביל לציר ה- מצא את השטח המקסימלי + של המשולשים OAB אשר מתקבלים בדרך הזאת 5-6 -
שאלת חובה הישר y=9+5 חותך את העקומה בנקודה אחת בלבד, נקודה B f () = m מצא את ערך הפרמטר m ואת שיעורי נקודה B מצא את השטח שבין הישר והעקומה הנ"ל בנקודה A(5,50) ומשיק לה 6 במשולש שווה שוקיים התיכון לשוק שווה באורכו לבסיס חשב את זוויותיו של המשולש התיכון שבסעיף א' מחלק את המשולש המקורי לשני משולשים קטנים מצא את היחס בין השטחים של המשולשים הקטנים רשום מסקנה כללית 7 נתונה הפונקציה:( f()=tgcos(, כאשר 0 π חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים (בחישוביך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית): תחום ההגדרה של הפונקציה, נקודות הקיצון, תחומי עליה וירידה, נקודות החיתוך עם הצירים, משוואות האסימפטוטות של הפונקציה, המקבילות לצירים, שרטט סקיצה של גרף הפונקציה 8 פרק : וקטורים, הנדסה אנליטית, פונקציות מעריכיות עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות 0- וגם את השאלה - 9 שאלת חובה 9 שאלת חובה נתונה קובייה שאורך כל מקצוע שלה הוא, ונתון כי הנקודה P מחלקת את הצלע ( EP = kps) ביחס k בטא את AP ואת PF באמצעות (הערה: וקטורים ES k, a, b, c a, b, c מסומנים בציור) האם קיים k שבעבורו הזווית APF ישרה? הצב =k וחשב את שטח המשולש APF S E P c D F b A a 0 (5,0)A היא נקודה על המעגל 5= y+ מנקודה A העבירו מיתרים במעגל הזה מצא את המקום הגיאומטרי (משוואה וסוג) של נקודות האמצע של כל המיתרים הללו נתונה הפונקציה y= l + מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה, מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה, מצא תחומי עליה וירידה, מצא את נקודות החיתוך עם הצירים, מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים, שרטט סקיצה של גרף הפונקציה בהצלחה!! - 7 -
פתרונות סופיים למחצית י' תשס"ג מועד ב' (,0) = 0, =, y= 0 לא רלוונטי לתוכנית ההיבחנות החדשה תחום הגדרה - 0, חיתוך עם הצירים (, ) (, 9) הוכחות 9 76 m> 4 קיצון : מקס' מיני' אסימפטוטות 90 4 0 k >, k< 9 B(, 4) 4 ד יח"ר m= 5 6 (,0) (07 π, 0) 076 (088 π, 099) 05 מקס' מיני' 0 6995 π 7 8 π π ד,0) π ( π,0), (,0), (, (0,0) ה = 4 4 k b PF = לא c AP= a+ b+ 9 c k+ k+ אין הפונק' עולה בכל תחומה ד ( 5) + y = 5 <, > =, =, y= l 4 0 ה - 8 -
פרק : אלגברה עליך לפתור שאלות מתוך השאלות - נתונה מערכת משוואות הבאה: מצא בעבור איזה ערך של מבחן מחצית י'- תשס"ד-מועד א' -y+z= -y+(k+)z= 5-7y+(4k +)z=4k + k למערכת יש אינסוף פתרונות, פתרון יחיד, אין פתרון מצא את הפתרון הפרמטרי של המערכת למקרה של אינסוף פתרונות עבור איזה ערך של (,0,0),k יהיה הפתרון היחיד של המערכת? a = +, a = a 4a + 5 סדרה מוגדרת לכל טבעי ע"י נוסחת נסיגה: b a = מגדירים סדרה חדשה: הוכח כי b היא סדרה הנדסית מצא את הנוסחה לפי מקום ל- a חשב את הסכום: a + a + a + + a נתון הסכום הבא: 0 + 4 + 56 + 7 + 90 + = 5+ 5 בהנחה שהחוקיות נמשכת, מצא את האיבר הכללי של הסכום הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת את נכונות הנוסחה בהסתמך על נוסחת הסכום שהוכחת איזה סכום גדול יותר : S 7 + + 90 = + 0 או S = + 0 + פרק : חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, טריגונומטריה עליך לפתור שאלות מתוך השאלות 4,5,7,8 וגם את השאלה - 6 שאלת חובה - 9 - a+ f ( ) = b 4 לפונקציה מצא את הפרמטרים יש נקודת קיצון ב- (-,-), והישר a ו- b, ורשום את נוסחת הפונקציה = מהווה לה אסימפטוטה מצא את תחום ההגדרה, נקודות הקיצון, חיתוך עם הצירים, אסימפטוטות, וצייר סקיצה של גרף הפונקציה (סעיף בונוס) על סמך הגרף שציירת בסעיף ב', צייר את גרף הפונקציה f( )
5 בין הישר + 6 y= וגרף הפרבולה 6+4 y = ברביעים הראשון והשני חסום מלבן קודקוד אחד של המלבן על הישר, אחד על הפרבולה ושני הנותרים על ציר ה- מצא מה צריכים להיות שיעורי קודקוד המלבן, הנמצא על הישר, כדי ששטחו יהיה מקסימלי שאלת חובה 6 ( f ( משיק לגרף הפונקציה הנתונה בנקודה שבה =a יוצר עם הצירים משולש = נתונה פונקציה אשר מסתובב סביב ציר ה- מצא את נפח גוף הסיבוב הנ"ל אילו הייתה נבחרת הנקודה שבה 4= על הגרף של,f() למה היה שווה נפח גוף הסיבוב הנ"ל במקרה הזה? cos ) f ( מוגדרת בתחום הפונקציה = + cos מצא את תחום ההגדרה π π, מצא את נקודת הקיצון, תחומי עלייה וירידה, נקודות החיתוך עם הצירים, אסימפטוטות, וצייר סקיצה של גרף הפונקציה cos עבור אילו ערכים של m יש למשוואה = m + cos שלושה פתרונות שונים בתחום? π π, 7 8 במרובע ABCD זויות A 65 ו- C ישרות ידוע כי DC= AB=4, AD=7, הוכח כי אורך הקטע AC הוא נסמן פרק : וקטורים, הנדסה אנליטית, פונקציות מעריכיות עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות 0- וגם את השאלה - 9 שאלת חובה 9 שאלת חובה במנסרה הישרה שבציור, הבסיס הוא משולש שווה צלעות אורכי כל המקצועות במנסרה, שווים ל- הנקודה K נמצאת על BC או על המשכו, כך ש- BK = t BC BC = u, BA= v, BB' = w A C? KC ' KA KC ' + KA בעבור איזה ערך של t בעבור איזה ערך של יהיה מינימלי? t B עבור ערך של t שקיבלת בסעיף ב', חשב את הזווית C ' KA A K C - 0 - B
מצא את משוואת ההיפרבולה שהישר 4y+=0 הוא האסימפטוטה שלה, והישר 5-6y=08 משיק לה (ניתן להיעזר בדף הנוסחאות) 0 g( ) = l(5 8) l( ו- 4) אינן זהות f 5 ) = l ( 8 4 הפונקציות הסבר את ההבדל ביניהן בעבור הפונקציה f() מצא את תחום ההגדרה, נקודות הקיצון, חיתוך עם הצירים, אסימפטוטות, וצייר סקיצה של גרף הפונקציה בהצלחה! = 0, פתרונות סופיים למחצית י' תשס"ד מועד א' הוכחה S = (5 ) a q= 5 = 5 + S > S ניתן להוכיח גם באמצעות פירוק לשברים חלקיים a ( + 4)( + 5) b= a= 4, תחום הגדרה - 0, חיתוך עם הצירים -,0) ( אסימפטוטות - 4 4 (, ) (, 4) קיצון : מקס' מיני' - (, ) 5 9π 6 4 π π 7 π חיתוך עם הצירים -,0) (,0) ± ( ) (0, π π קיצון : מקס' -,0) ( ) (0, מיני' -,0) ( 8 הוכחה 0 9 t= t=, t= 985 4 y = 0 היפרבולה 44 8 הפונקציות נבדלות בתחום ההגדרה שלהן > <, 0< < 6, חיתוך עם הצירים (,0) תחום הגדרה קיצון : מקס' - (,0) מיני' - 4) (0,l אסימפטוטות - =±,0,6 - -
פרק : אלגברה עליך לפתור שאלות מתוך השאלות - נתונה מערכת המשוואות הבאה: מבחן מחצית י'- תשס"ד-מועד ב' 6+y-5kz= 5+0y-5z=-5 4-4y+(k +4)z=8 k מצא עבור איזה ערך של הוכח שבמקרה של פתרון יחיד, בעבור כל ערך של ומצא את הפתרון הזה למערכת יש אינסוף פתרונות, פתרון יחיד, אין פתרון k מתאים, למערכת יש אותו פתרון, a = + 7+ P, P = + 9+ 6+ + 7 5 סדרה מוגדרת על פי הכלל: a מצא את הנוסחה לפי מקום ל- a ( a a ) + ( a a4 ) + ( a5 a6 ) + + ( a a מצא את נוסחת הנסיגה ל- מצא את הסכום )! + 5 4! + 5! הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת את הנוסחה: + + + = ( + )! + ( + )! 5 4! + 5! + + + < ( + )! על סמך סעיף א', הוכח את אי-השוויון הבא: פרק : חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, טריגונומטריה עליך לפתור שאלות מתוך השאלות 4,5,7,8 וגם את השאלה - 6 שאלת חובה f ( ) = ( A נתונה הפונקציה שיפוע של ישר משיק לפונקציה הזאת בנקודה = שווה 5 מצא את A אם נתון ש- 00>A, ורשום את הנוסחה של הפונקציה ) מצא את תחום ההגדרה, נקודות הקיצון, חיתוך עם הצירים, אסימפטוטות, וצייר סקיצה של גרף f ( ) = m הפונקציה בעבור אילו ערכים של m למשוואה אין אף פתרון? 4 - -
5 חוברת מבחני מחצית י' (4,05) הנקודה A נמצאת על הענף הימני של הפרבולה 7+8- y= מצא את שיעורי הנקודה A, בעבורה המרחק AB מינימלי B היא הנקודה ) סעיף בונוס ( בדקו את המצב ההדדי בין שיפוע הישר AB ושיפוע המשיק לפרבולה בנקודה, A ורשמו את המשמעות הגיאומטרית הנובעת מכך שאלת חובה דרך כל אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה y= + a a,( a 0) העבירו משיק לפונקציה השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה והמשיקים הוא / מצא את משוואות המשיקים לפונקציה f המקיימת קיצון בנקודה חשב את עם ציר ה- a f ( ) = a cos + b si והמוגדרת בתחום π π, 6 M ( π,5) 6 a ואת b ורשום את נוסחת הפונקציה ואת יש ערך מצא את נקודות הקיצון, תחומי עלייה וירידה, נקודות חיתוך עם הצירים, וצייר את סקיצת הגרף האם יש בתחום ההגדרה שני ערכים, כך שמתקיים f( )-f( )= 5? נמק את תשובתך 6 7 המעגל החסום במשולש ABC משיק לצלעות BC,AC,AB בנקודות,K L M, בהתאמה נתון כי A= α, B= β, ורדיוס המעגל החסום במשולש r הוא ABC α, β, הבע, את KM ואת KL,באמצעות r הבע, את שטח המשולש KLM,באמצעות α, β, r 8 A= B= r = 0 0 84, 44, 4 אם נתון כי, חשב את שטח המשולש ABC פרק : וקטורים, הנדסה אנליטית, פונקציות מעריכיות עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות 0- וגם את השאלה - 9 שאלת חובה 9 שאלת חובה במקבילית KLMN הנקודה E מחלקת את NK ביחס :4 (NE:EK=:4) NM = u, NK = v הנקודה F מחלקת את EM ביחס :5 (EF:FM=:5) נסמן N E K הבע את NF F הוכח כי הנקודות N F, L, נמצאות על ישר אחד מצא באיזה יחס F מחלקת את LN M L MNF u =, v =, NML= 60 0 נתון כי ד ' חשב את הזווית - -
קטע AB בעל אורך קבוע a, מתנועע באופן שקצותיו מונחים על שני הצירים הוכח, כי המקום הגיאומטרי של כל הנקודות C המחלקות את הקטע AB ביחס של, :5 הוא אליפסה מצא את משוואתה 0 a y=0 e l e + f ( ) = a e + חשב את לפונקציה הפונקציה יש שתי אסימפטוטות מאוזנות ו- =y מצא את ורשום את נוסחת f ( ) חשב את d בהצלחה! פתרונות סופיים למחצית י' תשס"ד מועד ב' לא רלוונטי לתוכנית ההיבחנות החדשה 7 a = 6 a+ = a+ 7 a = 7 9+ 4 הוכחה חיתוך עם הצירים,0) ( ±, (0,0) - 4 -, 0 =A תחום הגדרה - קיצון : מקס' - (,4) מיני' נק' הקצה שהן נק' החיתוך עם הצירים אין אסימפטוטות 9076 יח"ר (0,), ( 075,0), (66,0) π π (,), (, ) α+ β β α r si cos cos m<0 (7,0) 4 מאונכים y= 4, y= + 8, a= חיתוך עם הצירים - π 5π (, ), (, ) 6 6 a= b= קיצון : מקס' - מיני' - 6 a= α+ β β KL= r si KM = r cos 0 u+ NF = ( 5: ד 0 v ) 6 e + 64 64y + = 5a 9a 5 6 7 8 9 0
פרק : שאלון 005 עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות - מבחן מחצית י'- תשס"ה-מועד א' (m - ) - y = m נתונה מערכת משוואות עם פרמטר m: 6 -(m - )y = 0 בעבור איזה ערך של m למערכת יש פתרון יחיד? במקרה של פתרון יחיד, בעבור אילו ערכים של m שני השיעורים של הפתרון יהיו חיוביים? האם יתכן ששני השיעורים יהיו שליליים? נתונות שתי סדרות, אחת חשבונית והשנייה הנדסית שני האיברים הראשונים בשתי הסדרות זהים, האיבר השני בסדרות הוא 8 האיבר השלישי בסדרה ההנדסית גדול ב- 8 מן האיבר השלישי בסדרה החשבונית מצא את שלושת האיברים הראשונים בסדרות אחת הסדרות שמצאת בסעיף א' הינה סדרה הנדסית אינסופית יורדת עבור איזה יעלה סכום הסדרה S על? 45 האם סכום הסדרה הזאת יעלה על? 4 נמק ע"י חישובים עליך לפתור את שאלה שאלת חובה לדוד אפרים יש כאבים בברך, והוא הולך לאורטופד אחרי בדיקה קפדנית, האורטופד ממליץ לקבע את הברך בגבס כאשר דוד אפרים שאל אם הרופא בטוח בהמלצתו, האורטופד השיב, כי בתוך הסטטיסטיקה שערכו תלמידי רפואה במחלקתו התברר כי: הוא מאתר נכון 90% מן המקרים שזקוקים לקיבוע בגבס, הוא מאתר נכון 80% מן המקרים שלא זקוקים לקיבוע בגבס עשרה מכל 00 חולים המגיעים אל הרופא שאליו הלך דוד אפרים, זקוקים לקיבוע לגבס, דוד אפרים לא יודע מתמטיקה מה הסיכוי, לדעתו, שהוא זקוק לקיבוע גבס? מהו הסיכוי שדוד אפרים זקוק לקיבוע בגבס? האם תשתנה הערכתך, אם נתוני הדיוק של הרופא יישארו זהים, אבל, ההנחה תהיה ששלושים ושניים מכל 00 חולים המגיעים אל הרופא שאליו הלך דוד אפרים זקוקים לקיבוע גבס? אם כן, חשב מחדש אם לא, נמק פרק : שאלון 007 עליך לפתור את שאלה 4 שאלת חובה 4 הבסיס של פירמידה ישרה SABCD הוא מלבן אלכסוני המלבן נחתכים 0 בנקודה O בזווית של 60, 0 כלומר COD= 60 הנקודה K מחלקת את המקצוע SB ביחס :, כך ש- כך שמתקיים SK = הנקודה P נמצאת על המקצוע,SC KB SP= tsc אורך הצלע הקטנה (CD) של המלבן הוא a, גובה OS = w, OC = v, OD= הפירמידה הוא 4/a נסמן u a OB הוא הוכח כי אורכו של בעבור איזה ערך של t הזוית KOP תהיה ישרה? מצא את הזווית KOP, אם ידוע כי הנקודה P מחלקת את המקצוע SC ביחס : ) כלומר = : PC ( SP : (הסבר : בפירמידה ישרה, גובה הפירמידה "נופל" במרכז המעגל החוסם את הבסיס במקרה שלנו, מרכז המעגל החוסם את הבסיס הוא נק' פגישת האלכסונים של המלבן כמו כן, הגובה מאונך למישור הבסיס כלומר לכל הוקטורים הנמצאים בבסיס) - 5 -
עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 5-6 5 שלושה מקודקודיו של הטרפז ABCD,הן מצא את משוואת המשיק למעגל זה בנקודה C (AB CD) A (-5,-),B (-,0),D (-7,-) טרפז זה חסום במעגל 6 נתונה פונקציה הכוללת פרמטר A, הוכח כי לכל A y = l + < A A <A A> מתקיים : ב פרק : שאלון 006 מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה, את נקודות הקיצון שלה, חיתוך עם הצירים, אסימפטוטות מקבילות לצירים צייר את סקיצת גרף הפונקציה עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 7-9 7 הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת כי לכל טבעי מתקיים: 4+ 7 0+ + ( ) + ( ) = (( ) 4 + (6 ) ) בהסתמך על סעיף א' בלבד, מצא את ההפרש הבא: (+7++ +85)-(4+0+6+ +88) 8 טרפז שווה שוקיים חוסם חצי מעגל שרדיוסו R קוטר המעגל מונח על בסיס הטרפז, הבסיס העליון והשוקיים משיקים למעגל חשב את זווית הבסיס התחתון עבורה מתקבל שטח מינימלי לטרפז הבע שטח זה באמצעות R - 6-9 נתונה הפונקציה (a>0) f ( ) = a a 6 ידוע שנקודת החיתוך עם ציר היא גם נקודת הפיתול מצא את הפרמטר a, ורשום את נוסחת הפונקציה מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה, חיתוך עם הצירים, נקודות הקיצון, נקודת הפיתול, אסימפטוטות מקבילות לצירים (בחישוביך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית) צייר את סקיצת גרף הפונקציה עליך לפתור את שאלה 0 שאלת חובה 0 חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה,y=cos π המוגדרת בקטע 0, ובין שני המשיקים לגרף 4 זה בנקודות החיתוך שלו עם הצירים ראה ציור: בהצלחה!
פתרונות סופיים למחצית י' תשס"ה מועד א' (,8-6) ו-,(,8,) או (,8,4) ו- (,8,) m שונה מ- 0, ושונה מ- 5 m<- לא ישנן שתי אפשרויות: לאחר סכום יותר מ- 4 איברים, כלומר, אחרי סכום של 5 איברים לא, כי סכום של כל איברי הסדרה הוא, 4 ושני שלישים kop 90% ~09 ~046 t = 5 = 568 4 4+y+6=0 C=(-,) 5 y=la =- = A (,0) A < > 6 תחום הגדרה - A אין נק' קיצון, חיתוך עם הצירים - הפונקציה עולה בכל תחומה אסימפטוטות 7 45 = s0 7R השטח 0 = 60 8 (7,0) אסימפטוטה 0= 9 a= תחום הגדרה 0, חיתוך עם הצירים, ( פיתול (7,0) נק' מקס' (666 s= π 4 השטח π y= y= + 0 המשיקים : - 7 -
פרק : שאלון 005 אלגברה, סדרות והסתברות עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות - נתונה הפונקציה + מבחן מחצית י'- תשס"ה-מועד ב' :m מצא לאילו ערכי y= (m ) + m גרף הפונקציה חותך את ציר בשתי נקודות שונות גרף הפונקציה נמצא כולו מעל לישר =y 6 שני התנאים שבסעיפים א' ו-ב' מתקיימים יחד S נוסחת הסכום של האיברים הראשוניים בסדרה היא = מצא את נוסחת האיבר הכללי a של הסדרה מצא את מיקומם הסידורי של שלושה איברים עוקבים בסדרה, אשר אם נכפיל את הראשון בהם ב- ולשני נוסיף, נקבל סדרה חשבונית כמה איברים בסדרה a, אם האיבר האחרון הוא 547? עליך לפתור את שאלה שאלת חובה משרד הבריאות ערך סקר בנושא בריאות השיניים, מתוכו התברר כי: 45% רופאי השיניים פעם אחת בשנה לפחות 4 9 מהאוכלוסיה מבקרים אצל מהמבקרים אצל רופאי השיניים מצחצחים שיניים בבוקר ובער המבקרים אצל רופאי השיניים אך אינם מצחצחים שיניים מהווים שיניים 5 8 נסמן : ד A קבוצת המבקרים אצל רופא השיניים פעם אחת בשנה לפחות B קבוצת מצחצחי השיניים בבוקר ובער יש להציג את הנתונים בעזרת פרופורציות מתאימות מהי פרופורצית המבקרים אצל רופאי השיניים ומצחצחים שיניים בבוקר ובערב? מאלו שאינם מצחצחים האם קיים קשר סטטיסטי בין ביקור אצל רופא שיניים לבין צחצוח שיניים? יש להראות בעזרת חישובים מתאימים מתוך המבקרים במרפאתו של רופא שיניים מסוים, הוא מאתר נכון 7% מהמצחצחים בבוקר ובערב, וכמו כן, הוא מאתר נכון 8% מהלא מצחצחים ילד מגיע עם אמו אל מרפאתו של רופא השיניים הרופא מזהה שהילד אכן מצחצח שיניים מה ההסתברות שהילד באמת מצחצח שיניים? - 8 -
פרק : שאלון 007 גיאומטריה אנליטית, וקטורים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות עליך לפתור את שאלה 4 שאלת חובה B F C A D הן G,F 4 בקובייה ABCDA B C D אמצעי המקצועות נסמן AB= DD ' = w, BC = v, הנקודות u B C ו- AD בהתאמה הנקודה E נמצאת על הישר AB ומקיימת EB= tu C D t, w, v, u באמצעות GF, EF הבע את הוקטורים B E A G חשב את ערכי t שעבורם 0 EFG= 0 במקרה שמצאת בסעיף ב', בו הנקודה E נמצא בתוך הקטע,AB מצא באיזה יחס היא מחלקת את AB עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 5-6 5 נתונה אליפסה שציריה הם צירי השיעורים מנקודה A שעל האליפסה העבירו משיק לאליפסה החותך את ציר בנקודה M בנקודה A העבירו גם אנך למשיק, החותך את ציר בנקודה N הוכח כי, המכפלה OM ON שווה לריבוע מרחק מוקד האליפסה מהראשית (0- ראשית הצירים) y= e ( + + 6 נתונה הפונקציה ( חקור את הפונקציה לפי הפירוט הבא : תחום ההגדרה, נק' חיתוך עם הצירים, נק' קיצון, נק' פיתול, תחומי עליה וירידה, תחומי קעירות כלפי מעלה ומטה, אסימפטיטות מקבילות לצירים צייר את סקיצת גרף הפונקציה פרק : שאלון 006 אינדוקציה, טריגונומטריה, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 7-9 7 הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת כי לכל טבעי מתקיים: ( + ) + + + = 5 ( )(+ ) (+ ) 5 6 7 < + + +? נמק 9 5 האם נכון ש- 8 לגרף הפונקציה ו- B A מעבירים שני משיקים בנקודות (0<b) =y b (הנקודות A ו- B סימטריות ביחס לציר ה- y ) המשיקים נפגשים בנקודה C על ציר ה- y הבע את שיעורי הנקודה A בעבורה שטח המשולש ABC הוא מינימלי, באמצעות b - 9 -
y = a si + + b si נתונה הפונקציה שבה, בתחום 0 π ציר ה- משיק לגרף הפונקציה בנקודה b π = 6 a מצא את ואת ורשום את נוסחת הפונקציה מצא את נקודות החיתוך עם הצירים, נקודות הקיצון ואת האסימפטוטות של הפונקציה צייר את סקיצת גרף הפונקציה 9 עליך לפתור את שאלה 0 שאלת חובה 0 הישר y=- משיק לגרף הפונקציה f()=a 4+ בנקודה מסוימת מצא את הפרמטר a, את נקודת ההשקה, ורשום את נוסחת הפונקציה ציר ה-, מחלק את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה, המשיק, וע"י ציר ה- y, (השטח נמצא ברביע הראשון והרביעי) לשני חלקים הוכח כי שני החלקים שווים בשטחם בהצלחה! תשובות סופיות למבחן מחצית י' תשס"ה מועד ב' -5<m<- or 7<m< -5<m< a,4,5 4 m>7 or m<- = + : P(B/A) P(B) ד 075 כן t=5 t=05 or (0,) EF = tu+ w+ GF = u+ w 0 v 4 6 תחום הגדרה כל חיתוך עם הצירים - קיצון אין 4< < (,e ) ( 4,0e 4 ) פיתול - הפונק' עולה לכל > < 4 כלפי מטה - תחומי קעירות כלפי מעלה אסימפטוטות 0=y 7 לא, התשובה לסכום היא 6~ ( b, a=4, b= -4 b ) π π 5π = 0, נקודות הקיצון הן:,0) mi,(,) ma,(,0) mi (, אסימפטוטות =π 6 6 a= y= +4 (,) 8 9 0-0 -
מבחן מחצית י'- תשס"ו-מועד א' חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון (לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות), דפי נוסחאות מצורפים משך המבחן : חלק א' - שעתיים עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות - נתונות שתי פונקציות נתון כי לשתי הפונקציות הוכח כי C 5? נתון כי פרק : שאלון 005 f ( ) = ( A) + 5, g( ) = ( B) + C כאשר,B,A הם פרמטרים C g( ) ו- f ( ) יש לפחות נקודה משותפת אחת B לפרמטר A בטא את הקשר בין הפרמטר =C 7 על סמך תשובותיך לסעיפים א' ו-ב', ענה על השאלה הבאה מבלי לחשב את נקודות החיתוך בין שתי הפונקציות : האם הפונקציות y = 6 + 4 4+ y= נחתכות? ו- (תשובה לסעיף זה, על פי חישוב ישיר של נקודות החיתוך, תזוכה רק במחצית הנקודות) a = סידרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה : a+ = 7a+ 8 הוכח כי הסדרה המוגדרת על ידי + b היא סדרה הנדסית = a a כפונקציה של a מצא את הנוסחה ל- מצא נוסחה לסכום של האיברים הראשונים של הסדרה ד הסבר למה הביטוי מתחלק ב- ללא שארית לכל טבעי 7 בחברת "אולינוקיה" ערכו מבחן עמידות למים למצלמות דיגיטליות משני סוגים, אולימפוס ונוקיה בסה"כ נבדקו 450 מצלמות, ומהן 405 עברו את מבחן העמידות הסבירות שמבין המצלמות שעוברות את מבחן העמידות, זו תהיה מצלמת נוקיה, קטנה פי 6 מהסבירות שמבין המצלמות שלא עברו בהצלחה את מבחן העמידות, זו תהיה מצלמת נוקיה איזה אחוז מבין מצלמות נוקיה, עבר את מבחן העמידות? אם נתון כי בחנות 400 מצלמות אולימפוס, האם קיים קשר סטטיסטי בין סוג המצלמה (נוקיה/אולימפוס) ליכולתה לעבור את מבחן העמידות? אם כן, מה כיוון הקשר? - -
A S חוברת מבחני מחצית י' עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 4-6 פרק : שאלון 007 נתונה פירמידה מרובעת,SABKC שבסיסה דלתון D נקודת חיתוך אלכסוני הדלתון B D u, AK) AB = אלכסון ראשי) AC = v, AS = w C בפירמידה מסמנים u = v =, w =, w u, w v, CAB= 60 K 0 DSK = 0, AK = t AD מצא את t SDA 0 נתון כי כמו כן הוכח כי SD=DK מצא את הזווית 4 g ( ) = (+ log ) f ( ו- ) = log + האם לפונקציות נקודת ההשקה המשותפת פתור את אי-השיוויון הבא: ( הערה : אין קשר בין הסעיפים יש משיק משותף אם כן, מצא את log + (+ log 5 y = מעגל, שמרכזו C נמצא על הציר Y, חותך את ההיפרבולה 4 בארבע נקודות 6 נסמן את נקודת החיתוך אשר ברביע הראשון ב- A, ואת נקודת החיתוך אשר ברביע הרביעי ב- B המעגל חותך את ההיפרבולה בנקודה A בזווית ישרה (כלומר, המשיק למעגל והמשיק להיפרבולה בנקודה A נחתכים בזווית ישרה) הקטע BC מקביל לציר X מצא את שיעורי הנקודה A מצא את משוואת המעגל פרק : שאלון 006 משך המבחן שעה ושלושת רבעי עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 7-8 7 הוכח באינדוקציה (או בכל בדרך אחרת) כי לכל טבעי מתקיים: + = ( + ) ( + ) ( + ) ( ) + 5 6 48 49 6 64 99 400 חשב את המכפלה: - -
5 8 חוברת מבחני מחצית י' מכונית נסעה את המרחק מעיר א' לעיר ב' במשך 5 שעות במהירות קבועה בדרך חזרה עברה המכונית מהדרך במהירות הקטנה ב- 6 קמ"ש ממהירותה הלוך, ואת שאר הדרך במהירות הגדולה ב- 0 קמ"ש ממהירותה הלוך דרכה חזרה נמשכה 5 שעות ו- 0 דקות מהי מהירותה של המכונית בדרכה הלוך? עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 9- d si( β + α) si( β α) ל- C ) D בין (E BC אמצע ו- D ABC במשולש BC הוא גובה לצלע AE DE= EAC= α, BAE= β, הוכח שאורך הצלע BC שווה נתון d 9 הערה:השאלה עוסקת בעניינים הקשורים לפולינומים, אך אין קשר מתמטי בין הסעיפים נתונה פונקציה ), f ( כאשר a,b,c,d פרמטרים ) 0 = a + b + c+ d ) a הוכח כי תמיד קיימת נקודת פיתול לפונקציה זו (כלומר, לפונקצית פולינום ממעלה שלישית תמיד ישנה נקודת פיתול) נתונה הפונקציה ( f ( מצא את משוואתו של ישר המשיק לגרף הפונקציה = 4+ 56 f ( ) פולינום בנקודה מסוימת אם נתון שהוא משיק גם לגרף הנגזרת f () באותה הנקודה f '( ), f '() = f '() = 0, f (0) = f (5) = 0 ) f ( מקיים : ויורדת עבור עולה עבור, < < או > הקשר בין הגרפים ואת דרך בנייתם > שרטט (בצורה כללית) גרף של f ( ) וגרף של ) f ''( הסבירו את 0 ידוע כי תחום ההגדרה של הפונקציה ורשום את נוסחת הפונקציה חשב את האינטגרל: f ( ) = + a+ 5 5 הוא 5 4 4+ 7 d f ( ) בחישובך עגל עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית מצא את a בהצלחה! - -
פתרונות סופיים למחצית י' תשס"ו מועד א' + B A + הוכחה B הוכחה לא נחתכות 7 S = + S a = 4 7 a ד כל איברי הסדרה הם מספרים שלמים, לכן גם הוא מספר שלם לכל מכאן, חייב 7 7 השבר חייב להיות מספר שלם היות ו- לא מתחלק ב-, אזי הביטוי להתחלק ב- ללא שארית לכל טבעי קיים קשר סטטיסטי ומשמעותו שבקרב מצלמות אולימפוס שעור העוברות את 60 מעלות < or 7 or 0< 7 60% מבחן העמידות גבוה יותר לא הוכחה + y + 8y 56= A(6,) 0 = 0875 4 80 קמ"ש הוכחה y= 4 7 a=-7 46 4 5 6 7 8 9 0-4 -
מבחן מחצית י'- תשס"ו-מועד ב' חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון (לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות), דפי נוסחאות מצורפים משך המבחן : חלק א' - שעתיים עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות - ( ) = + ( + 0) + 0 נתונה הפרבולה : פרק : שאלון 005 f m m עבור אילו ערכים של הפרמטר m, יהיה קודקוד הפרבולה ברביע השני בנוסף לסעיף א', נתון גם כי הפרבולה חותכת את ציר ה- בשתי נקודות הנמצאות בין = ל- f ( 5), f () מחק את המיותר : " הערכים = 5 הם חיוביים / שליליים " והסבר תשובתך עבור אילו ערכים של הפרמטר m, תמלא הפונקציה את הדרישות של סעיפים א' ו-ב' יחדיו ( t> 0) a,s S של הסדרה, סדרת הסכומים החלקיים,S S = t + מקיימת את כלל הנסיגה הבא: t S + = S + t t הוכח כי סדרה הנדסית, ומצא את מנת הסדרה a a היא סדרה הנדסית אינסופית יורדת האיבר הראשון גדול מסכום כל שאר האיברים ב- מצא את מנת הסדרה אם ידוע כי 6 a > 0 6 בחברת טויוטה נערך מבחן של תקינות צמיגי מכוניות החברה במבחן השתתפו 600 מכוניות, ומהם 500 מכוניות עברו את המבחן בהצלחה מבין המכוניות שנסעו בכבישי עפר, לא עברו את המבחן בהצלחה ד 8 מהמכוניות גם לא עברו את המבחן בהצלחה וגם לא נסעו בכבישי עפר מבין המכוניות שלא עברו את המבחן בהצלחה, מהי פרופורצית המכוניות שנסעו בכבישי עפר? מבין המכוניות שלא נסעו בכבישי עפר, מהי פרופורצית המכוניות שעברו את המבחן בהצלחה? האם על סמך הנתונים אפשר לקבוע כי יש קשר סטטיסטי בין נסיעה בכבישי עפר להצלחה במבחן? נמק לשולמית רכב מסוג טויוטה, היא נמנעת מלנסוע בכבישי עפר בטענה כי זה הורס את הצמיגים של המכונית האם היא צודקת? הסבר - 5 -
פרק : שאלון 007 עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 4-6 v, AD= v+ w, AA' = 5u v+ w, AB= u+ כאשר 4 במקבילון ABCDA B C D נתון w D C u = v = w =, u v w A D B C הוכח כי המקבילון הוא תיבה מצא את אורך אלכסון התיבה A B C ' AD מצא את הזווית B ו- 7,) ( C אחד (,0) קודקודי הבסיס הגדול בטרפז שווה שוקיים, ABCD נמצאים בנקודות 5 A מקודקודי הבסיס הקטן של הטרפז נמצא בנקודה (, ( מצא את משוואות הישרים עליהן נמצאים שוקי הטרפז מצא משוואת המעגל החוסם את הטרפז f ) = + a+ 5 ( ידוע כי הישר 5 = ורשום את נוסחת הפונקציה מהווה אחת האסימפטוטות של הפונקציה מצא את a 6 f ( ) d חשב את האינטגרל: פרק : שאלון 006 משך המבחן שעה ושלושת רבעי עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 7-8 S = 7 נתונה סדרה אשר סכום האיברים הראשונים שלה הוא + a מצא את הנוסחה ל- הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל טבעי a + a a+ 6 הביטוי 9 מתחלק ב- ללא שארית - 6 -
8 נהג מונית תכנן לנסוע 600 ק"מ במהירות קבועה, אלא שאחרי שעתיים של נסיעה הקטין הנהג את מהירותו והגיע באיחור של שעה וחצי לו היה נוסע במהירות הנמוכה לאורך כל הדרך, היה מאחר בשעתיים מצא את מהירותו המקורית עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 9- השוק של טרפז שווה שוקיים גדולה פי 6 מהבסיס הקטן הוכח שהטרפז בעל השטח הגדול ביותר מתקבל כאשר הבסיס הגדול, גדול פי 9 מהבסיס הקטן 9 ה ו ז ד נתון משולש,ABC שטחו של המשולש הוא S הוכח כי מתקיים: נתון כי BAC 4S cos BAC = AB AC = 55 S, AB=, AC=, חשב את גודל זווית בנוסף, נתון כי הנקודה נמצאת על הצלע E AC נמצאת על הצלע AB שטח משולש ADE הוא 5 סמ"ר מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה כך שמתקיים D והנקודה, AE= 4 5 AC D מצא את רדיוס המעגל החוסם את משולש את הצלע AB הדרכה: העזר בנוסחה שהוכחת בסעיף א' ADE הערה : בתשובתך דייק עד שתי ספרות לאחר הנקודה העשרונית 0 y= y= a+ b הוא המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה = מצא את משוואת המשיק ד ה חשב את האינטגרל,a שמצאת בסעיף א') b ) 4 ( a b) d המשיק הנ"ל חותך את הפונקציה y= הפונקציה והמשיק הנ"ל בין הישרים = ו- בנקודה הסבר למה התשובות לסעיפים ב' ו-ג' אינן זהות לפונקציה =4 y= ( 5) העבירו משיק בנקודה בה (,8 ) חשב את השטח המוגבל על ידי גרף 4= משיק זה חותך את הפונקציה בנקודה (7,8 ) חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה והמשיק הנ"ל בין הישרים = ו- = 9 בונוס הדרכה: ניתן להסתמך על החישובים מסעיפים הקודמים בצירוף הסבר נאות בהצלחה! - 7 -
פתרונות סופיים למחצית י' תשס"ו מועד ב' m < 0 שליליים m< 5 q= t 4 5 6 אין קשר סטטיסטי ד בגלל שאין קשר סטטיסטי אז אין קשר סיבתי, ולכן אם לשולמית יש רכב מסוג טויוטה, אזי על פי המחקר אין שחר לטענותיה הוכחה 6956 4 y=-, 7y=+4 ( ) ( y ) 75 + + 55 = 75 4 5 6 =a a 7 6 = 8 75 קמ"ש 9 l 5 + 4l5 9 0 הוכחה הוכחה 5644 מעלות ביחס של 4: 54 ד y=+ 0 46 ד האינטגרל המסוים הוא אופרטור שבעזרתו ניתן לחשב שטחים, ולכן כאשר מחשבים שטחים יש לשים לב לגבולות ולתחומי השטחים ה אותו דבר כמו ג, כלומר 46 יחידות שטח כאשר מזיזים את הפונקציה יחד עם המשיקים והגבולות אותו מספר יחידות ימינה או שמאלה, תוצאת האינטגרל נשמרת - 8 -
מבחן מחצית י'- תשס"ז-מועד א' חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון (לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות), דפי נוסחאות מצורפים משך המבחן : חלק א' - שעתיים עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות - נתונה הפונקציה: פרק : שאלון 005 - פרמטר) הוכח כי f() m ) f()= m - m+ ציר ה- נתונה הפונקציה: הפונקציה ( ) = ( ) ( ) - m - m+ +- m m - m+ g( ) נמצא כולו מתחת לציר ה-? אינה חותכת את g עבור אילו ערכי m, גרף - a סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת, אשר סכומה הוא 7,85 סכומם של שני האיברים הראשונים בסדרה הוא 7,500 והאיבר השישי בה, קטן מ- 0 מצא את האיבר השלישי בסדרה מגדירים סדרה חדשה ע"י הנוסחה: a סדרת ) b = a היא הסדרה הנתונה בסעיף א') a b חשב את היחס בין סכום הסדרה, לסכום הסדרה D עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות -4 נתון מעגל BD O קוטר ו- AC מיתר במעגל הנתון נקודת מפגש BD ו- AC היא הנקודה M O OM) )( OA - ( הוכח: CM MA= OC +OM C M B A S = OAM 6, COD= COA, נתון כי : חשב את סמ"ר CM 5 MA = S ABM - 9 -
חוברת מבחני מחצית י' 4 יבואן מכוניות ערך סקר בקרב,000 בעלי רכ,400 מהנשאלים בסקר היו נשואים והשאר רווקים,00 מהנשאלים העדיפו מכונית משפחתית והשאר מכונית ספורטיבית לתדהמת עורכי הסקר הסתבר כי לא קיים קשר סטטיסטי בין מצבו המשפחתי של הנשאל לבין העדפותיו בנושא סוג המכונית בנה טבלת פרופורציה דו-ממדית המשקפת את הנתונים סמן מאורעות בטבלה: A- קבוצת הנשאלים הנשואים חשב את השכיחויות הבאות והסבר אותן מילולית B- קבוצת הנשאלים המעדיפים מכונית משפחתית B B C C u A w A v D D ( B) N A ( B) P A יבואן המכוניות ביקש כי יעשו סקר נוסף בין הרווקים בלבד, לראות מי בסופו של דבר קנה מכונית לפי העדפותיו ומי לא קנה את המכונית שהעדיף התבררו הנתונים הבאים : 90% רווקים קנו את המכונית המועדפת עליהם היחס בין פרופורציית הרווקים המעדיפים מכונית משפחתית מתוך הרווקים שקנו המכונית המועדפת עליהם, לבין פרופורציית הרווקים המעדיפים מכונית משפחתית מתוך הרווקים שלא קנו את המכונית המועדפת עליהם הוא 0 9 5 מצא את פרופורציית הרווקים שקנו את המכונית המועדפת עליהם מתוך הרווקים שהעדיפו מכונית משפחתית עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 5-7 בתיבה ABCDA' B ' C ' D ' ΑΑ' = w, ΑD = v, ΑΒ = u נתון : הווקטור v = 8, u = = u +tv - w 4 חשב את פרק : שאלון 007 יוצר זוויות שוות עם הווקטורים AC - ABו t הוכח כי אם AD אז: חשב את הזווית שבין הווקטור v = w לווקטור AC y A C המשיק לפונקציה עם ציר ( ) f = + - + + חותך את ציר ה-, y הישר BC אנך לציר ה- חשב את השטח המוגבל ע"י וחותך את B בנקודה ( ) f בנקודה בנקודת החיתוך שלה C f( ) והישרים BC ו- AB 6-40 - B
7 חוברת מבחני מחצית י' המשוואות של שניים מגבהי משולש הן: המשולש נמצא בנקודה +y = 6 ו- + y = אחד מקודקודי (5, ) מצא את שני הקודקודים האחרים של המשולש הוכח כי אחד מהגבהים הנתונים הוא גם חוצה זווית חשב את גודל הזווית הנחצית משך המבחן שעה ושלושת רבעי 8 עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 8-9 פרק : שאלון 006 הוכח באינדוקציה (או בכל בדרך אחרת) כי לכל טבעי מתקיים: + 5 7 5 + 5 + ( ) (6 5)5 = ( ) 5 9 שלושה ספורטאים יצאו לדרך מאותו המקום ולאותו כיוון הספורטאי הראשון הלך במהירות של 6 קמ"ש רבע שעה אחריו, יצא הספורטאי השני במהירות 8 קמ"ש חמש דקות מאוחר יותר יצא גם הספורטאי השלישי הספורטאי השלישי השיג את הספורטאי השני ולאחר 0 דקות נוספות (מרגע שחלף על פני הספורטאי השני) השיג גם את הראשון מצא את מהירות הספורטאי השלישי B עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 0- C k D R O α A 0 במשולש שווה שוקיים BA= BC ) ABC זווית הבסיס של המשולש היא α ( חסום מעגל O D נסמן : היא נקודת החיתוך בין המעגל ל- BO BD= k הבע את רדיוס המעגל באמצעות הבע את α ו- k AC באמצעות ו- α DO=, הבע באמצעות k את רדיוס המעגל החוסם נתון כי k k את משולש, ABC ניתן גם להסביר את התשובה באופן גיאומטרי B הנקודה C נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה A והרדיוס שלו הוא 0 גודל זווית BAD= 0 R A 0 R D C AB ניצב ל- BC ניצב ל- AD ו- ) CD ראה ציור ( מצא את השטח המקסימלי של המרובע ABCD הנוצר באופן זה מצא את השטח המינימלי של המרובע ABCD הנוצר באופן זה - 4 -
נתונה הפונקציה ) + ( ( f ( הנקודות A ו- C הן נקודות הקיצון של הפונקציה = (נסמן ב- A את נקודת הקיצון המקסימלית, וב- C את נקודת הקיצון המינימלית) נעביר ישר המקביל לציר ה- ו- BC מהנקודה A נעביר ישר המקביל לציר ה- y, ומהנקודה C AB שני הישרים נחתכים בנקודה B מצא את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה והישרים בהצלחה! פתרונות סופיים למחצית י' תשס"ז מועד א' P( A B) = 085 N( A B) = 70 5 m> 75 הוכחה 4 סמ"ר A A 055 065 085 045 05 05 0 07 B B הוכחה 0 k 0 5 0 45 t= 4 + l5 7) 5, C( B(0,) הוכחה הוכחה k(cosα+ ) AC= ta α( cos α) 0 או קמ"ש k cosα =R cosα R 8 R 4 05 4 5 6 7 8 9 0-4 -
מבחן מחצית י'- תשס"ז-מועד ב' חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון (לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות), דפי נוסחאות מצורפים משך המבחן : חלק א' - שעתיים עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות - פרק : שאלון 005 m + f() = m + + m - 4 m נתונה הפרבולה :? m עבור אילו ערכי הפרבולה חיובית לכל m עבור אילו ערכי לפרבולה שתי נקודות חיתוך עם ציר מימין לראשית הצירים? סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה הבא: a מגדירים סדרה על ידי + = a + + b b = a + - נתון כי הסדרה הינה סדרה הנדסית שמנתה a מצא את הנוסחה לאיבר הכללי של הסדרה b מצא את הנוסחה לסכום האיברים הראשונים של הסדרה b, b, a + מצא את עבורו שלושת האיברים הבאים מהווים סדרה הנדסית : עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות -4 F ו- G הן על צלעות המקבילית מקבילית, E ABCD הנקודות הנקודה O היא מפגש הישרים BD ו- EF A E B O D G F C נתון: הוכח: EF AD, GO AB GC = OF OBG DOF S DOE = S OGC - 4 -
מומחה למתכות מזהה את החומר ממנו עשוי תכשיט ע"י התבוננות בלבד הוצגו לפני המומחה 0 טבעות טבעות עשויות זהב טהור ו- 8 מזויפות מתוך הטבעות שעשויות זהב טהור המומחה אמר על 0 טבעות שהן שעשויות זהב טהור מתוך 8 טבעות מזויפות המומחה אמר על טבעת אחת שהיא עשויה זהב טהור מהי הדיאגנוסטיות של קבוצת הטבעות שהמומחה אמר עליהן שהן עשויות זהב טהור? ידוע שההסתברות כי טבעת שנבחרה באקראי עשויה זהב טהור אם המומחה אמר שהיא כזו היא 65% מהי פרופורציית הטבעות העשויות זהב טהור? (שימו לב דיאגנוסטיות קבוצת הטבעות שהמומחה אמר עליהן שהן עשויות זהב טהור, נשמרת) 4 D D v w A A C C u F N E B B 5 עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 5-7 הנקודות הנקודה נסמן: ד נתונה קובייה ABCDA B C D F ו- E הן בהתאמה אמצעי המקצועות פרק : שאלון 007 BC EN = tef מקיימת N AA' = w, AD = v, AB = u הבע באמצעות w, v, u ו- t את ' AC הבע באמצעות חשב את ערך ו- AN cos NAC ' את t t עבורו ' NAC היא מינימלית חשב את ' NAC המינימלית ו- ' C B ' נתונות הפונקציות: האסימפטוטה האופקית של האסימפטוטה האופקית של ד ה מצא את הפרמטרים ( a> 0) ( ), f( ) = ( a - e ) g = b+e - - f( ) היא y= g( ) b ו- a מצא את נקודת הקיצון של היא ציר ה- f( ) מצא את נקודת החיתוך בין שני הגרפים שרטט סקיצה של שני הגרפים באותה במערכת צירים חשב את השטח המוגבל על-ידי שני הגרפים של הפונקציות ועל-ידי ציר ה- y 6-44 -
7 חוברת מבחני מחצית י' קודקודי הבסיס של טרפז שווה שוקיים ABCD ( AB, נמצאים CD, AD= BC) בנקודות: (6,0)A ו- (4,6) B הבסיס CD נמצא על ישר שהמשכו עובר דרך הנקודה (,9 ( מצא את שני הקודקודים האחרים אם נתון ששטחו של הטרפז הוא 50 מצא את משוואת המעגל החוסם את הטרפז פרק : שאלון 006 משך המבחן שעה ושלושת רבעי עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 8-9 הוכח באמצעות אינדוקציה מתמטית כי לכל טבעי מתקיים: ( ) + + + + = + + + + 8 המרחק בין אוניברסיטת בר-אילן לאוניברסיטת חיפה הוא 0 ק"מ בשעה 8 בבוקר יוצא אברהם בהליכה מאוניברסיטת בר-אילן לכיוון אוניברסיטת חיפה בשעה 0 בבוקר יוצא בנימין בהליכה מאוניברסיטת חיפה לכיוון אוניברסיטת בר-אילן בנימין הולך במהירות הגדולה ב- קמ"ש מזו של אברהם באיזה שעה יפגשו שני הסטודנטים אם ידוע כי המפגש מתרחש בדיוק באמצע הדרך? 9 עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 0- B C A R O 0 במשולש ABC סכום אורכי הצלעות AC ו- AB הוא גודל קבוע k צלע AB משיקה למעגל O שרדיוסו R בנקודה A קודקוד C נמצא על המעגל מה צריך להיות היחס AB AC כדי ששטח המשולש ABC יהיה מקסימלי? - 45 -
נתונה הפונקציה: 0 π ) ( בתחום : f = cos - si מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה מצא את תחומי העלייה ותחומי הירידה של הפונקציה מצא את נקודות הפיתול של הפונקציה מצא את התחומים בהם הפונקציה שרטט סקיצה של גרף הפונקציה קעורה כלפי מעלה והתחומים בהם קעורה כלפי מטה ד ה ו g( ) = k > 0, 5 f ( ) הגרפים של הפונקציות = k ו- נפגשים בראשית הצירים O ובנקודה ובין הישר, S ואת השטח הכלוא בין AO ב- f ( ( נסמן את השטח הכלוא בין הפונקציה A S (ראה שרטוט) הפונקציה ) g( וישר AO ב- S : S חשב את יחס השטחים g( ) מסובבים את השטח שכלוא בין הגרפים של ושל סביב ציר ה- הבע באמצעות k f ( ) את נפח גוף הסיבוב הנוצר בדרך זו y A S S O בהצלחה! - 46 -
פתרונות סופיים למחצית י' תשס"ז מועד ב' 5 6 + t 5+ t = < m< 4 S b 0< m< m> 0 = + 5 a = הוכחות 6 AC ' = u+ v+ w, AN = u+ v+ t w ה 5 ( π,) ( π,) 8 8 l (l,05) 75 ( 775) + ( y 5) = 6 7 ( π, 044) mi ( π, 44) ma 8 8 (0,0) mi a=, b= 0 D(,7) C(4,), הוכחה יפגשו ב- 0:00 π π (0, ) (,0) (,0) 4 05 7 π < < עליה π 8 8 7 π < < π, 0< < ירידה π 8 8 ד 5 5 π < < π, 0< < π כלפי מטה π < < ה כלפי מעלה π 8 8 8 8 5 7 4 k π 4 5 6 7 8 9 0-47 -
מבחן מחצית י'-תשס"ח-מועד א' חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון (לא גרפי ושאינו ניתן לתכנות), דפי נוסחאות מצורפים P( A / B) = P( B / A) P( A) P( B) R P ( A B) = R + R = משך המבחן: חלק א' - שעתיים הסתברות מותנית: נוסחאות בהסתברות נוסחת בייס: P( A B) = P( A B) P( A B) P( A/ B) = P( B) P( B A) P( A) P( B A) P( A) נוסחת בייס ליחסים : פרק : שאלון 005 אלגברה וסדרות : עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות - m m( -) - ( -) -= 0 m יש למשוואה הנתונה שני שורשים ממשיים שונים? נתונה המשוואה: עבור אילו ערכי מצא את פתרונות המשוואה והראה שאחד מהם אינו תלוי בערכו של עבור אילו ערכי m פתרון המשוואה התלוי ב-, m גדול מהפתרון הקבוע שמצאת בסעיף ב'? 6 9 5 4 0 8 5 5 5 5 45 6 8 0 4 54 66 i i i i i i i i i i i i i i i מספרים סודרו במשולש בצורה הבאה: בשורה הראשונה נמצא איבר אחד, בשנייה נמצאים שני איברים, בשלישית - שלושה וכו' בשורה ה- תי- - איברים השורות מהוות (החל מהשלישית) סדרות חשבוניות שים לב למבנה השורות (לאיבר הראשון, להפרש הסדרה, למספר איבריה) וכתוב נוסחה לאיבר האחרון בשורה ה- -ית חשב את סכום האיברים בשורה ה- -ית גיאומטריה והסתברות : עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות -5 A משולש ABC חסום במעגל D חוצה הזווית BAC חותך את המעגל בנקודה ואת הצלע BC בנקודה F מנקודה D הורד אנך על הצלע BC החותך אותה בנקודה E B E F C - 48 - נתון כי: AB= : 5 AC : D
הוכח כי: BC = 8 EF נתון כי : 0 ס"מ = 6,AF ס"מ = AD חשב את אורך הצלע FC את חשב DFC שטח משולש (בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית) 4 שאלה בהסתברות קלאסית בקונדיטוריית "עוגתי" 07 מהעוגות מכילות קמח אם בוחרים באקראי עוגה מבין העוגות המכילות קמח, ההסתברות שהעוגה מכילה סוכר היא 5 7 כמו כן, ידוע של- 094 מהעוגות בקונדיטוריה זו ישנה לפחות אחת משתי התכונות: מכילה קמח, מכילה סוכר בוחרים עוגה באופן אקראי, מה ההסתברות שהעוגה מכילה סוכר? מבין העוגות המכילות סוכר בוחרים 5 עוגות מה ההסתברות שלפחות 4 עוגות לא יכילו קמח? ידוע כי אם בוחרים 5 עוגות המכילות סוכר, יש לפחות 4 עוגות שאינן מכילות קמח מה ההסתברות שכל העוגות אינן מכילות קמח? 5 שאלה בהסתברות בחיי היום יום בסקר שנערך בקרב חיילים בדקו את הטענה שיש קשר בין שירות קרבי לבין סוג מקום מגורים: ערים לעומת מושבים וקיבוצים בסקר התברר ש- 40% מבין הנבדקים הם מהמושבים והקיבוצים כמו כן, התברר שמבין החיילים מהמושבים והקיבוצים 75% משרתים בשירות קרבי, ופרופורציית החיילים מהערים שאינם עושים שירות קרבי הוא 048 נסמן: - A קבוצת החיילים מהמושבים והקיבוצים - B קבוצת החיילים המשרתים בשירות קרבי מהו אחוז החיילים המשרתים בשירות קרבי? הוכח שיש קשר סטטיסטי בין שירות קרבי לבין מקום המגורים אחרי פרסום הסקר עלתה הטענה, כי הסיבה לקשר היא שיותר חיילים מהמושבים והקיבוצים שבסקר עברו בתיכון קורס הכנה קרבית התבונן בטבלה שלפניך, השלם את הנתונים, ובדוק האם יש קשר סיבתי בין שירות קרבי לבין מקום המגורים נמק! - 49 -
שירות קרבי מושבים וקיבוצים עברו קורס ערים מושבים וקיבוצים לא עברו קורס ערים 006 05 008 08 שירות שאינו קרבי פרק : שאלון 007 וקטורים, פונ' מעריכיות ולוגריתמיות ואנליטית : עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 6-8 בפירמידה משולשת ABCD (ראה ציור) הנקודה P נמצאת על הישר שעליו מונחת הצלע BC 6 D AB= u, AC = v נסמן:, AD= w BP= t BC BAD =0, BAC= CAD= 60 נתון: A B C, u = v = w עבור איזה ערך של t, הזווית בין מהו מיקומה של הנקודה P ל- AP ביחס לנקודות שווה AD לזווית בין AP ל- AC?C, B בהסתמך על ה- t שמצאת בסעיף א' ובהינתן כי שטח המשולש APD הוא 7 מצא את אורך AD ( a> ) y= נתונה הפונקציה : + a 7 = log a השטח הכלוא בין גרף הפונקציה, הצירים והישר מסתובב סביב ציר ה- X נסמן את נפח הגוף המתקבל בדרך זו ב- V, = log מסתובב סביב ציר a והישר, = log השטח הכלוא בין גרף הפונקציה, הישר a V ה- X נסמן את נפח הגוף המתקבל בדרך זו ב- מצא את a אם נתון כי V = V פתור את המשוואה: הערה: אין קשר בין הסעיפים 4 log = - 50 -
שיעורי הנקודות A הם: ו - B, (,0)B הנקודה O היא ראשית הצירים A(a,0) נתון שהמקום הגיאומטרי של כל הנקודות הוא מעגל שמרכזו (,0) מצא את a ואת רדיוס המעגל PO שעבורן, P הוא חוצה הזווית, APB 8 פרק : שאלון 006 משך המבחן: שעה ושלושת רבעי אינדוקציה ובעיית תנועה: עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 9-0 הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל טבעי מתקיים: (+ ) + (+ ) + (+ 5) + + (4+ ) = + 8+ 4 9 a = 40 48 b a הסדרה מוגדרת לכל טבעי לפי: b = ( + ) + (+ ) + (+ 5) + + (4+ כאשר ( כמה איברים חיוביים יש בסדרה? a נמק 0 שני אנשים יצאו בו זמנית זה לקראת זה האחד מ- A והשני מ- B הם נפגשו במרחק 65 מ' מ- B והמשיכו בדרכם הראשון הגיע ל-, B והשני הגיע ל- A מיד עם הגיעם הסתובבו וחזרו לנקודת מוצאם בדרכם חזרה נפגשו שנית במרחק 5 מ' מ- A חשב את המרחק מ- A ל- B אם ידוע כי מהירותם לא השתנתה במהלך הליכתם טריגונומטריה, דיפרנציאלי ואינטגרלי: עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות - D P A במשולש שווה שוקיים כך ש: A ( PM = PN) PMN PM את השוק חותך הישרNA PA= PB 4 היא נקודה על הגובה, PB בנקודה D BN = a DMN = α, DNB= נתון כי: β ו- tg β : tgα חשב את היחס M B N הבע באמצעות DM, α,βאת a חשב את היחס DM PM : - 5 -
si נתונה הפונקציה = y בתחום cos π π < < מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים, נקודות הקיצון (אם ישנן) ואת האסימפטוטות האנכיות בתחום הנתון π חשב את השטח המוגבל על ידי הפונקציה, הצירים והישר = ( b> 0) f ( ) = b נתונה הפונקציה מעבירים משיק לפונקציה בנקודה = 9 הבע באמצעות b (אם יש צורך) את האסימפטוטות המקבילות לצירים ואת משוואת המשיק 4 משיק זה חותך את האסימפטוטה האנכית לציר ה- בנקודה שבה שיעור ה- y הוא b מצא את מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ד הראה שהפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה ה שרטט סקיצה של גרף הפונקציה בהצלחה!!! - 5 -